每日一题[1294]论证与构造

已知无穷正实数数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=1$,$x_{i+1}<x_i$($i=0,1,2,\cdots$).

1、求证:对任意符合题意的数列 $\{x_n\}$,均存在 $n\in\mathbb N^{\ast}$,使得 $\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}\geqslant 3.999$.

2、求证:存在符合题意的 $\{x_n\}$ 使得对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$,均有 $\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}<4$.

解析

1、根据柯西不等式,有\[\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}\geqslant \dfrac{(1+x_1+x_2+\cdots x_{n-1})^2}{x_1+x_2+\cdots +x_n},\]记 $S_n=x_1+x_2+\cdots+x_n$,则\[\begin{split}\dfrac{(1+x_1+x_2+\cdots x_{n-1})^2}{x_1+x_2+\cdots +x_n}&=\dfrac{(S_n+1-x_n)^2}{S_n}\\ &=\dfrac{S_n^2+2(1-x_n)S_n+(1-x_n)^2}{S_n}\\ &=S_n+\dfrac{(1-x_n)^2}{S_n}+2(1-x_n)\\ &\geqslant 4-4x_n.\end{split}\]

情形一    存在 $ \varepsilon >0 $,对任意 $ k\in\mathbb N^{\ast} $,均有 $ x_k\geqslant \varepsilon$,此时有\[\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}>x_0^2+x_1^2+\cdots+x_{n-1}^2\geqslant n\varepsilon^2,\]此时取 $n=\left[\dfrac{3.999}{\varepsilon^2}\right]+1$ 即可.

情形二    对任意 $\varepsilon >0 $,均存在 $ n\in\mathbb N^{\ast} $,使得 $ x_n<\varepsilon $.此时取 $\varepsilon=\dfrac{0.0001}{4}$,则对应的 $n$ 符合要求. 综上所述,命题得证.

2、取 $x_k=\dfrac{1}{2^k}$($k=1,2,\cdots$),则\[\sum_{k=1}^n\dfrac{x_{k-1}^2}{x_k}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-2}}=4\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)<4,\]因此命题成立.

 

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