每日一题[1300]差分出规律

已知数列 $\{a_n\}$ 满足:$a_1=a_2=a_3=k$,$a_{n+1}=\dfrac{k+a_na_{n-1}}{a_{n-2}}$($n\geqslant 3$,$n\in\mathbb N^{\ast}$)其中 $k>0$,数列 $\{b_n\}$ 满足:$b_n=\dfrac{a_n+a_{n+2}}{a_{n+1}}$($n=1,2,3,\cdots$).

1、求 $b_1,b_2,b_3,b_4$.

2、求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式.

3、是否存在正数 $k$,使得数列 $\{a_n\}$ 的每一项均为整数?如果不存在,请说明理由;如果存在,求出所有的 $k$.

解析

1、根据题意,有\[\begin{array}{c|cccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6\\ \hline a_n&k&k&k&k+1&k+2&k+4+\dfrac 2k\\ \hline b_n&2&2+\dfrac 1k&2&2+\dfrac 1k&2&2+\dfrac 1k\\ \hline \end{array}\]

2、根据题意,有\[\begin{split} a_na_{n+3}-a_{n+1}a_{n+2}=k,\\ a_{n+1}a_{n+4}-a_{n+2}a_{n+3}=k,\end{split}\]两式相减可得\[a_{n+3}(a_n+a_{n+2})-a_{n+1}(a_{n+2}+a_{n+4})=0,\]于是\[b_{n+2}=b_n,\]结合第 $(1)$ 小题的结果可得\[b_n=\begin{cases} 2,&n\equiv 1\pmod 2,\\ 2+\dfrac 1k,&n\equiv 0\pmod 2.\end{cases}\]

3、若 $\{a_n\}$ 中每一项均为整数,则由于\[k=a_na_{n+3}-a_{n+1}a_{n+2},n\in\mathbb N^{\ast},\]于是 $k\in\mathbb N^{\ast}$,而\[a_6=k+4+\dfrac 2k\in\mathbb N^{\ast},\]于是 $k=1$ 或 $k=2$.

情形一     $k=1$.此时\[a_{n+2}=\begin{cases} 2a_{n+1}-a_n,& n\equiv 1\pmod 2,\\ 3a_{n+1}-a_n,&n\equiv 0\pmod 2,\end{cases}\]且 $a_1=a_2=1$,于是 $\{a_n\}$ 中的每一项均为整数.

情形二     $k=2$.此时\[a_{n+2}=\begin{cases} 2a_{n+1}-a_n,& n\equiv 1\pmod 2,\\ \dfrac 52a_{n+1}-a_n,&n\equiv 0\pmod 2,\end{cases}\]且 $a_1=a_2=2$.归纳可得 $2\mid a_{2k-1}$($k\in\mathbb N^{\ast}$),进而可得 $\{a_n\}$ 中的每一项均为整数. 综上所述,所有符合题意的 $k$ 的值为 $1$ 和 $2$.

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