每日一题[1302]隐藏的斐波那契

设有 $10$ 个相同的红球和 $10$ 个相同的白球,从中任取 $10$ 个球排成一排,但红球不能相邻,则不同的排列方法数为_______.

答案    $144$.

解析    设从中任取 $k$ 个球排成一排的方法数为 $a_k$,则\[a_2=3,a_3=5.\]而对于 $k+1$($k\geqslant 3$)的情形,若第一个球为红球,则第二个球必然为白球,有 $a_{k-1}$ 种排法;若第一个球为白球,则有 $a_k$ 种排法.因此\[a_{k+1}=a_k+a_{k-1},k\geqslant 3.\]进而有\[\begin{array}{c|ccccccccc}\hline k&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline a_k&3&5&8&13&21&34&55&89&144\\ \hline\end{array}\]

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