每日一题[1297]整数复整数

已知 $n\in\mathbb N$,求证:$\dfrac {n^5}5+\dfrac{n^3}3+\dfrac{7n}{15}$ 是整数.

解析    记题中代数式为 $a_n$,对 $n$ 进行归纳.当 $n=0$ 时命题显然成立. 设当 $n=k$($k\in\mathbb N$)时命题成立,即 $a_k=\dfrac{k^5}5+\dfrac{k^3}3+\dfrac{7k}{15}$ 是整数,则考虑\[\begin{split} a_{k+1}-a_k&=\dfrac{(k+1)^5}5+\dfrac{(k+1)^3}3+\dfrac{7(k+1)}{15}-\left(\dfrac{k^5}5+\dfrac{k^3}3+\dfrac{7k}{15}\right)\\ &=k^4+2k^3+3k^2+2k+1,\end{split}\]于是 $a_{k+1}$ 也是整数,命题得证. 综上所述,当 $n\in\mathbb N$ 时,$\dfrac {n^5}5+\dfrac{n^3}3+\dfrac{7n}{15}$ 是整数.

备注    利用连续 $k$ 个整数的积一定能被 $k!$ 整除也可证明命题.

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每日一题[1297]整数复整数》有 1 条评论

  1. weilew说:

    解析第二行少=

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