数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 的定义如下：$x_1=1$，$y_1=39$，且\[\begin{cases} x_{n+1}=23x_n+y_n+2,\\ y_{n+1}=551x_n+24y_n+64,\end{cases}\]求证：对一切正整数 $n$，$x_n$ 是完全平方数．
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每日一题[1292]追本溯源
数列 $\{a_n\}$ 的定义如下：$a_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，有 $a_n=\begin{cases} a_{\frac n2}+1,& 2\mid n,\\ \dfrac{1}{a_{n-1}},&2\nmid n,\end{cases}$ 已知 $a_m=\dfrac{30}{19}$，则正整数 $m$ 的值为_______．
每日一题[1290]先猜后证
已知 $x,y>0$，则 $m=\dfrac{(xy+x+y)(x+y+1)}{(x+y)(x+1)(y+1)}$ 的取值范围为_______．
每日一题[1289]代数变形
已知 $x,y,z\in\mathbb C$，解方程组\[\begin{cases} x+y+z=3,\\ x^2+y^2+z^2=3,\\ x^5+y^5+z^5=3.\end{cases}\]
每日一题[1288]待定参数
已知正实数 $a,b$ 满足 $2a+2b\leqslant 15$，$\dfrac 4a+\dfrac 3b\leqslant 2$，则 $3a+4b$ 的取值范围是_______．
每日一题[1287]均值不等式
已知 $a,b,c,d>0$． 求证：$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}\leqslant\sqrt[3]{(a+b+c)(b+c+d)}$，并指出上述不等式等号取得的充要条件．
每日一题[1286]柯西不等式
已知 $a,b\geqslant 0$，求证：$\dfrac{a}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+1}}\geqslant \dfrac{a+b}{\sqrt{ab+1}}$．
每日一题[1285]暴力计算
如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB\perp BC$，$AD\perp DC$，$AB=AD=1$，$\angle BAD=\dfrac{2\pi}3$，射线 $BC$ 上的两个动点 $E,F$（$E$ 在线段 $BC$ 上，且不与 $B,C$ 重合）满足 $DC$ 平分 $\angle EDF$，则当 $4BE+BF$ 最小时，$\tan\angle EDF$ 的值是_______．
每日一题[1284]待定裂项
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$\displaystyle\dfrac{2n}3\sqrt n<\sum_{k=1}^n\sqrt k<\dfrac{4n+3}6\sqrt n$．
每日一题[1283]无处容身
设集合 $A=\{1,2,3,\cdots,2018\}$，对于 $A$ 的 $1009$ 元子集 $M$，若存在 $a,b\in M$ 满足 $a\mid b$，则称 $M$ 为好集．求最大的正整数 $n$，使得所有 $A$ 的包含 $n$ 的 $1009$ 元子集都是好集．