每日一题[1301]唯一最值点

已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}3\right)$ 在 $(0,2]$ 上有最大值和最小值,且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的,则 $\omega$ 的取值范围是_______.

答案    $\left[-\dfrac{17\pi}{12},-\dfrac{5\pi}6\right)\cup\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{13\pi}{12}\right)$.

解析    显然 $\omega\ne 0$.

情形一    $\omega >0$.此时 $\omega x+\dfrac{\pi}3$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi}3,2\omega+\dfrac{\pi}3\right]$,进而可得\[\dfrac{2\pi}3\leqslant 2\omega+\dfrac{\pi}3<\dfrac{5\pi}2,\]解得\[\dfrac{\pi}6\leqslant \omega<\dfrac{13\pi}{12}.\]

情形二    $\omega <0$.此时 $\omega x+\dfrac{\pi}3$ 的取值范围是 $\left[2\omega+\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3\right)$,进而可得\[-\dfrac{5\pi}2<2\omega+\dfrac{\pi}3\leqslant -\dfrac{4\pi}3,\]解得\[-\dfrac{17\pi}{12}<\omega\leqslant -\dfrac{5\pi}6.\] 综上所述,$\omega$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{17\pi}{12},-\dfrac{5\pi}6\right)\cup\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{13\pi}{12}\right)$.

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