已知 $a,b,c$ 为正整数，函数 $f(x)=ax+\dfrac cx$，关于 $x$ 的方程 $f(x)=b$ 在 $(0,1)$ 上有两个实数解，若这样的 $b$ 有且只有 $2$ 个，那么 $a+c$ 的最小值为_______．
已知实数 $x,y,z$ 满足 $x^2+2y^2+3z^2=4,$ 若 $T=xy+yz,$ 则 $T$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[-\dfrac{\sqrt6}3,\dfrac{\sqrt6}3\right]$
B．$\left[-\dfrac{\sqrt6}6,\dfrac{2\sqrt6}3\right]$
C．$\left[-\dfrac{\sqrt6}3,\dfrac{\sqrt3}3\right]$
D．$\left[-\dfrac{2\sqrt6}3,\dfrac{2\sqrt6}3\right]$
函数 $f(x)=-x^2+3x+a$，$g(x)=2^x-x^2$，若 $f(g(x))\geqslant 0$ 对于 $x\in[0,1]$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$[-\mathrm{e},+\infty)$
B．$[-\ln 2,+\infty)$
C．$[-2,+\infty)$
D．$\left(-\dfrac12,0\right]$
已知 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根，且 $1<x_1<x_2<2$，$a,b,c\in \mathbb Z$．则当正整数 $a$ 取得最小值时，$b+c$ 的值为 （ ）
A．$-5$
B．$-4$
C．$-1$
D．$3$
已知变量 $x$ 和 $\theta$ 都在 $\mathbb R$ 上变化，则 $\dfrac{x^2+2x\sin\theta+2}{x^2+2x\cos\theta+2}$ 的取值范围是_______．
已知 $f(x)=\dfrac{3+2\cos x+\sin x}{(\cos x+2)^2}$，则函数 $f(x)$ 的值域是______．
设函数 $f(x)=x^2-a^x$（$a>0$ 且 $a\ne 1$），$g(x)=f'(x)$．
（1）当 $a={\rm e}$ 时，求 $g(x)$ 的极大值点；
（2）讨论 $f(x)$ 的零点个数．
已知 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$，且满足 $\angle BAC=60^\circ$，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且 $x\geqslant 0$，则 $x+4y$ 的最大值是_______．
设函数 $f(x)=(1-mx)\ln (1+x)$．
（1）当 $0<x<1$ 时，函数 $f(x)$ 的图象恒在 $y=x$ 上方，求实数 $m$ 的取值范围；
（2）求证：${\rm e}>\left(\dfrac{1001}{1000}\right)^{1000.4}$．
