每日一题[1299]根轴

已知直线 $l:y=x+t$ 和圆 $C:x^2+(y-2)^2=8$,若存在定点 $M$,使得从 $l$ 上任意一点 $P$ 引圆 $C$ 的一条切线 $PQ$($Q$ 为切点),均有 $|PQ|=|PM|$,则实数 $t$ 的取值范围是_______.

答案    $(-\infty,-2]\cup [6,+\infty)$.

解析    设 $M(a,b)$,根据题意,直线 $l$ 为圆 $C$ 与点圆 $M:(x-a)^2+(y-b)^2=0$ 的等圆幂线,即根轴.而圆 $C$ 与点圆形成的根轴 $l$ 与圆 $C$ 相离或相切,因此\[\dfrac{|t-2|}{\sqrt 2}\geqslant 2\sqrt 2,\]解得\[t\leqslant -2\lor t\geqslant 6.\]另一方面,当点 $M$ 在过 $C$ 与直线 $l$ 垂直的直线 $l'$ 上运动时,可以使得上述的 $t$ 均可取得.因此实数 $t$ 的取值范围是 $(-\infty,-2]\cup [6,+\infty)$.

备注    也可以代数计算,根轴方程为\[2ax+(2b-4)y-(a^2+b^2+4)=0,\]与\[x-y+t=0\]对比可得\[\begin{cases} a=-b+2,\\ t=-\dfrac{a^2+b^2+4}{2a},\end{cases}\]于是\[t=2-\left(a+\dfrac 4a\right),\]亦可得实数 $t$ 的取值范围是 $(-\infty,-2]\cup [6,+\infty)$.

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