若定义在 $D$ 上的函数 $f(x)$ 与不同于 $f(x)$ 的函数 $g(x)$ 在 $x=\xi$ 处满足满足\[\begin{split} f(\xi)&=g(\xi),\\ f'(\xi)&=g'(\xi),\\ &\cdots,\\ f^{(k)}(\xi)&=g^{(k)}(\xi),\end{split}\]则称 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的 $k$ 阶近似函数，其中 $k\in \mathbb N^{\ast}$，$f^{(k)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $k$ 阶导数．例如：函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线为 $y=g(x)$，则 $g(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个 $1$ 阶近似函数．
1、写出函数 $f(x)=x^3$ 在 $x=1$ 处的一个 $2$ 阶近似函数．
2、若函数 $f(x)=\ln x$，$g(x)=ax+\dfrac bx+c$，$a,b,c\in\mathbb R$，则 $g(x)$ 能否为 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的 $2$ 阶近似函数？
3、若函数 $f(x)=\ln (x+1)$，$g(x)=\dfrac{ax}{x+b}$，$a,b\in\mathbb R$，则 $g(x)$ 能否为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 $2$ 阶近似函数？
解析
1、由于\[f(1)=1,f'(1)=3,f''(1)=6,\]于是\[g(x)=1+3(x-1)+\dfrac 6{2!}(x-1)^2\]即 $g(x)=3x^2-3x+1$ 为所求的 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处的一个 $2$ 阶近似函数．由于\[g'(x)=a-\dfrac{b}{x^2},g''(x)=\dfrac{2b}{x^3},\]于是解方程组\[\begin{cases} a+b+c=0,\\ a-b=1,\\ 2b=-1,\end{cases}\]可得\[(a,b,c)=\left(\dfrac 12,-\dfrac 12,0\right),\]于是 $g(x)=\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)$ 是 $f(x)=\ln x$ 在 $x=1$ 处的 $2$ 阶近似函数．
2、由于\[g'(x)=a-\dfrac{b}{x^2},g''(x)=\dfrac{2b}{x^3},\]于是解方程组\[\begin{cases} a+b+c=0,\\ a-b=1,\\ 2b=-1,\end{cases}\]可得\[(a,b,c)=\left(\dfrac 12,-\dfrac 12,0\right),\]于是 $g(x)=\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)$ 是 $f(x)=\ln x$ 在 $x=1$ 处的 $2$ 阶近似函数．
3、由于\[g'(x)=-\dfrac{ax}{(x+b)^2}+\dfrac a{b+x},g''(x)=\dfrac{2ax}{(x+b)^3}-\dfrac{2a}{(x+b)^2},\]于是解方程组\[\begin{cases} \dfrac ab=1,\\ -\dfrac{2a}{b^2}=-1,\end{cases}\]可得\[(a,b)=(2,2).\]于是 $g(x)=\dfrac{2x}{x+2}$ 是 $f(x)=\ln(x+1)$ 在 $x=0$ 处的 $2$ 阶近似函数．
备注 本题指出了对于 $\ln x$ 在 $x=1$ 的常用放缩 $\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)$ 和 $\dfrac{2(x-1)}{x+1}$ 的来源之一：对数函数 $\ln x$ 在 $x=1$ 处的双曲线近似．