每日一题[1308]左冲右突

已知 $a,b>0$,则 $m=\dfrac{a^2}{2a+4b}+\dfrac{2b^2+4}{ab+2}$ 的最小值为_______.

答案    $2$.

解析   

改写问题    已知 $a,b>0$,求 $m=\dfrac{a^2}{2a+2b}+\dfrac{b^2+8}{ab+4}$ 的最小值.

情形一    $2a+2b\geqslant ab+4$.此时\[m\geqslant\dfrac{a^2+b^2+8}{2a+2b}=\dfrac{(a^2+4)+(b^2+4)}{2a+2b}\geqslant 2,\]等号当 $a=b=2$ 时取得.

情形二    $2a+2b\leqslant ab+4$.此时\[m\geqslant \dfrac{a^2+b^2+8}{ab+4}\geqslant 2,\]等号当 $a=b=2$ 时取得.

综上所述,所求最小值为 $2$.

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每日一题[1308]左冲右突》有 1 条评论

  1. LycheeM LycheeM说:

    写法上,把两个分母都放大到$\dfrac12(a^2+b^2+8)$就不用分情况了 🙂

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