每日一题[1306]“显然”

已知三个非零平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 两两的夹角均为 $\theta$,求 $\theta$.

答案    $0,\dfrac{2\pi}3$.

解析    不妨设 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 均为单位向量,将它们的起点放置在坐标平面 $xOy$ 的原点 $O$ 处,设 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 的终点分别为 $A,B,C$,且 $A$ 位于 $x$ 轴正半轴上.

情形一     $A,B,C$ 中有两个点重合.此时必然 $A,B,C$ 均重合,$\theta=0$,符合题意. 情形二    $A,B,C$ 中任何两个点不重合.容易证明 $A,B,C$ 不在任何一条过原点的直线同侧(包括该直线),否则某两个向量的夹角等于另外两个向量的夹角之和,矛盾.因此 $B,C$ 落在 $x$ 轴的两侧,进而 $B,C$ 关于 $x$ 轴对称(由于 $\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 与 $\overrightarrow a$ 的夹角相等),而 $A,B,C$ 不能同时位于 $y$ 轴右侧,于是 $ B $ 只能落在第二象限,进而 $ \overrightarrow{b},\overrightarrow{c} $ 的夹角为\[2(\pi-\theta)=\theta,\]解得\[\theta=\dfrac{2\pi}3.\] 综上所述,$ \theta=0 $ 或 $ \theta=\dfrac{2\pi}3$.

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