每日一题[1307]底数相近

比较大小:${\log_4}\dfrac 87$_______${\log_5}\dfrac 65$.(用 $>,<$ 填空)

答案    $<$.

解析    考虑到 $2^7=128$ 与 $5^3=125$ 接近,转化底数,有\[{\log_4}\dfrac 87=\dfrac 12{\log_2}\dfrac 87=\dfrac 12{\log_{128}}\left(\dfrac 87\right)^7,\]且\[{\log_5}\dfrac 65=\dfrac 12{\log_{125}}\left(\dfrac 65\right)^6,\]又\[\dfrac{\left(\dfrac 87\right)^7}{\left(\dfrac 65\right)^6}=\dfrac{512000000}{600362847}<1,\]于是\[{\log_4}\dfrac 87<{\log_5}\dfrac 65.\]

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每日一题[1307]底数相近》有 8 条评论

  1. LycheeM LycheeM说:

    最后两个分数的幂的比较可以用对数来放缩:
    因为
    \[\begin{split}\ln\left(\dfrac 65\right) & =-\ln\left(\dfrac 56\right)=-\ln\left(1-\dfrac 16\right)>{\dfrac 16},\\
    \ln\left(\dfrac 87\right) & =\ln\left(1+\dfrac 17\right)<{\dfrac 17},\end{split}\]
    所以
    \[7\ln\left(\dfrac 87\right)<1<6\ln\left(\dfrac 65\right),\]

    \[\left(\dfrac 87\right)^7<\left(\dfrac 65\right)^6.\]

    • LycheeM LycheeM说:

      或者,根据均值不等式
      \[\left(\dfrac{n-1}n\right)^n=1\cdot\left(\dfrac{n-1}n\right)^n<\left(\dfrac{1+\dfrac{n-1}n\cdot n}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n+1},\]
      即数列$\left\{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+1}\right\}$单调递减(事实上收敛于$\rm e$)。因此
      \[\left(\dfrac 87\right)^7<\left(\dfrac 87\right)^8<\left(\dfrac 65\right)^6.\]

  2. LycheeM LycheeM说:

    试了两次,开头的公式总是显示不正确。。
    看看我的代码有什么问题?
    \[\begin{split}\ln\left(\dfrac 87\right) & =\ln\left(1+\dfrac 17\right){\dfrac 16},\end{split}\]

    • LycheeM LycheeM说:

      不好意思,刷屏了,实在忍不住debug 🙂

      好像在同一个公式里,前面有个“小于号”,后面有个“大于号”,中间的部分就被忽略了。把两个不等式的位置换一下,把“大于号”放前面,“小于号”放后面,就没问题了。我在local测试mathjax没有这个问题。

      供参考。

  3. LycheeM LycheeM说:

    最后两个分数的幂的比较可以用对数来放缩:
    因为
    \[\begin{split}\ln\left(\dfrac 87\right) & =\ln\left(1+\dfrac 17\right){\dfrac 16},\end{split}\]
    所以
    \[7\ln\left(\dfrac 87\right)<1<6\ln\left(\dfrac 65\right),\]

    \[\left(\dfrac 87\right)^7<\left(\dfrac 65\right)^6.\]

  4. LycheeM LycheeM说:

    最后两个分数的幂的大小比较可以用对数来放缩:
    因为
    \[\ln\left(\frac 87\right)=\ln\left(1+\frac 17\right)\frac 16,\]
    所以
    \[7\ln\left(\frac 87\right)<1<6\ln\left(\frac 65\right),\]

    \[\left(\frac 87\right)^7<\left(\frac 65\right)^6.\]

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