每日一题[1312]狭缝求生

已知函数 $f(x)=a\sin x+b\cos x$($a,b\in\mathbb Z$)且满足 $\{x\mid f(x)=0\}=\{x\mid f(f(x))=0\}$,则符合题意的整数对 $(a,b)$ 个数为_______.

答案    $7$.

解析    根据题意,由于 $\{x\mid f(x)=0\}$ 不可能为空集,于是 $x=0$ 为函数 $f(x)$ 的零点,于是\[b=0.\]此时\[f(x)=a\sin x,f(f(x))=a\sin (a\sin x),\]因此关于 $x$ 的方程\[a\sin x=k\pi,k\in\mathbb Z^{\ast}\]无解.因此符合题意的 $a$ 有 $-3,-2,-1,0,1,2,3$,所求的整数对个数为 $7$.

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