每日一题[1305]不定方程

已知正整数 $x,y$ 满足 $x+y+1\mid 2xy$,$x+y-1\mid x^2+y^2-1$,求所有的正整数对 $(x,y)$.

答案    $(x,y)=(k,k+1),(k+1,k),k\in\mathbb N^{\ast}$.

解析    注意到\[x^2+y^2-1=(x+y+1)(x+y-1)-2xy,\]于是\[\begin{cases} x+y+1\mid 2xy,\\ x+y-1\mid 2xy.\end{cases}\]

情形一    $x+y-1$ 和 $x+y+1$ 是相邻的奇数,于是\[\left(x+y+1,x+y-1\right)=1,\]因此\[xy\geqslant (x+y+1)(x+y-1),\]即\[x^2+y^2+xy-1\leqslant 0,\]无解.

情形二    $x+y-1$ 和 $x+y+1$ 是相邻的偶数,于是\[\left(\dfrac{x+y+1}2,\dfrac{x+y-1}2\right)=1,\]因此\[xy\geqslant \dfrac{x+y+1}2\cdot \dfrac{x+y-1}{2},\]进而\[(x-y)^2\leqslant 1,\]因此\[(x,y)=(k,k+1),(k+1,k),k\in\mathbb N^{\ast}.\]

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