每日一题[1310]分解重组

在 $\triangle ABC$ 中,角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$,若 $c-a$ 等于 $AC$ 边上的高 $h$,则 $\sin\dfrac{C-A}2+\cos\dfrac{C+A}2$ 的值是_______.

答案    $1$.

解析    一方面,有\[\begin{split} \sin\dfrac{C-A}2+\cos\dfrac{C+A}2&=\sin\dfrac C2\cos\dfrac A2-\cos\dfrac C2\sin\dfrac A2+\cos\dfrac C2\cos\dfrac A2-\sin\dfrac C2\sin\dfrac A2\\ &=\left(\cos\dfrac A2-\sin\dfrac A2\right)\left(\cos\dfrac C2-\sin\dfrac C2\right),\end{split}\] 另一方面,根据题意有\[h=c\sin A=a\sin C=c-a,\]于是由正弦定理可得\[\sin C-\sin A=\sin A\sin C,\]也即\[(1+\sin A)(1-\sin C)=1,\]也即\[\left(\cos\dfrac A2+\sin\dfrac A2\right)^2\left(\cos\dfrac C2-\sin\dfrac C2\right)^2=1.\] 考虑到 $\sin\dfrac{C-A}2$ 和 $\cos\dfrac{C+A}2$ 均为正数,于是\[\sin\dfrac{C-A}2+\cos\dfrac{C+A}2=1.\]

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