每日一题[1303]游标卡尺

已知 $m\in\mathbb N^{\ast}$,函数 $f(x)=\sin\left(\dfrac m5x+\dfrac{\pi}3\right)$ 满足 $\forall n\in\mathbb Z,\{ f(x)\mid n\leqslant x\leqslant n+1\}=[-1,1]$,则 $m$ 的最小值为_______.

答案    $32$.

解析    函数 $f(x)$ 的极值点 $x$ 满足\[\dfrac m5x+\dfrac{\pi}3=k\pi+\dfrac{\pi}2,k\in\mathbb Z,\]\[x=\dfrac{(6k+1)\pi}{2m},k\in\mathbb Z,\]因此题意即\[\forall n\in\mathbb Z,\exists k\in\mathbb Z,n\leqslant \dfrac{(6k+1)\pi}{2m}<\dfrac{(6k+7)\pi}{2m}\leqslant n+1,\]也即\[\forall n\in\mathbb Z,\exists k\in\mathbb Z,\dfrac{mn}{5\pi}-\dfrac 16\leqslant k\leqslant \dfrac{m(n+1)}{5\pi}-\dfrac 76.\]
充分条件探路    考虑区间\[D=\left[\dfrac{mn}{5\pi}-\dfrac 16,\dfrac{m(n+1)}{5\pi}-\dfrac 76\right],\]其长度\[l(m)=\dfrac{m}{5\pi}-1,\]因此有\[l(31)<1<l(32).\]因此当 $m=32$ 时,区间 $D$ 的长度大于 $1$,在区间 $D$ 上必然存在整数,符合题意.
当 $m\leqslant 31$ 时,必然存在正整数 $n$,使得\[\left\{\dfrac{31n}{5\pi}-\dfrac 16\right\}<1-l(m),\]例如当 $m=31$ 时,取 $n=31$ 有\[\dfrac{31n}{5\pi}-\dfrac 16\approx 61.0125,l(31)\approx 0.9735,\]此时有\[61<\dfrac{31n}{5\pi}-\dfrac 16<\dfrac{31(n+1)}{5\pi}-\dfrac 16<62,\]不符合题意.
综上所述,$m$ 的最小值为 $32$

备注    事实上,令 $n=-1$,可得\[D=\left[-\dfrac{m}{5\pi}-\dfrac 16,-\dfrac 76\right],\]于是必然有\[-\dfrac{m}{5\pi}-\dfrac 16\leqslant -2,\]从而\[m\geqslant 5\pi\cdot \dfrac{11}{6},\]于是 $m\geqslant 29$.此时再令 $n=-2$,则\[D=\left[-\dfrac{2m}{5\pi}-\dfrac 16,-\dfrac{m}{5\pi}-\dfrac 76\right],\]有\[-\dfrac{m}{5\pi}-\dfrac 76\leqslant -\dfrac{29}{5\pi}-\dfrac 76<-3,\]于是\[-\dfrac{2m}{5\pi}-\dfrac 16\leqslant -4,\]有\[m\geqslant 5\pi\cdot \dfrac{23}{11},\]于是 $m\geqslant 31$,结合 $m=31$ 的反例就得到了严格的证明.

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