每日一题[1311]复数生实数

设虚数 $z$ 的模不为 $1$,复数 $w=z+\dfrac 1z$,则实数 $a=w+\dfrac 1w$ 的取值范围是_______.

答案    $(-1,1)$.

解析    由于虚数 $z$ 的模不为 $1$,于是 $w$ 为虚数,又 $w+\dfrac 1w$ 为实数,于是 $|w|=1$,进而\[a=w+\overline w=2{\rm Re}(w).\]设 $z=(\theta:r)$,则\[w=\left(r+\dfrac 1r\right)\cos\theta+{\rm i}\left(r-\dfrac 1r\right)\sin\theta,\]满足\[\left(r+\dfrac 1r\right)^2\cos^2\theta+\left(r-\dfrac 1r\right)^2\sin^2\theta=1,\]即\[r^2+\dfrac 1{r^2}=3-4\cos^2\theta,\]因此由\[3-4\cos^2\theta>2,\]解得 $\cos^2\theta$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 14\right)$.此时\[({\rm Re}(w))^2=(5-4\cos^2\theta)\cdot\cos^2\theta,\]于是 ${\rm Re}(w)$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$,$a$ 的取值范围是 $(-1,1)$.

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