每日一题[1309]圆锥截面

一个半径为 $2$ 的球放在桌面上,桌面上的一点 $A_1$ 的正上方有一个光源 $A$,$AA_1$ 与球相切,$AA_1=6$,球在桌面上的投影是一个椭圆,则这个椭圆的离心率等于_______.

答案    $\dfrac 12$.

解析    考虑过球心 $O$ 与光源 $A$ 且与桌面垂直的截面,如图.

根据题意,有 $A_1A_2=8$,$A_1P=3$,进而可得桌面与圆锥面的轴 $AO$ 所成的角的余弦为\[\cos\angle APA_1=\dfrac{1}{\sqrt 5},\]而圆锥面的母线与 $AO$ 所成的角的余弦为\[\cos\angle A_1AO=\dfrac{2}{\sqrt 5},\]因此所求离心率\[e=\dfrac{\cos\angle APA_1}{\cos\angle A_1AO}=\dfrac 12.\]

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