已知 $a+b+c=1,a,b,c\in(0,1)$，求证：$a\ln a+b\ln b+c\ln c\geqslant(a-2)\ln2$．
已知 $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等，则关于 $x,y$ 的方程组\[|x\cos\alpha+y\sin\alpha+1|=|x\cos\beta+y\sin\beta+1|=|x\cos\gamma+y\sin\gamma+1|\]的解的组数可能为（ ）
A．$0$
B．$1$
C．$2$
D．$4$
已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^{2x-2}}{x}$（$x\ne 0$），记 $f_n(x)=f_{n-1}'(x)$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），$f_0(x)=f(x)$．
（1）求 $f_2(1)+f_3(1)$ 的值；
（2）求证：$nf_{n-1}(1)+f_n(1)=2^n$．
已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的函数，则（ ）
A．若 $f(f(x))>x$，则 $f(f(x))>f(x)$
B．若 $f(f(x))>f(x)$，则 $f(x)>x$
C．若 $f(f(x))>f(x)$，则 $f(f(f(x)))>f(x)$
D．若 $f(f(f(x)))>f(x)$，则 $f(f(x))>f(x)$
设函数 $f_n(x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\cdots+\dfrac{(-1)^{n+1}\cdot x^n}{n}-\ln (1+x),n\in\mathbb N^{\ast}$．
（1）判断 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内的单调性；
（2）求最大的整数 $\alpha$，使得 $|f_n(x)|<\dfrac{1}{n^{\alpha}}$ 对所有 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 及 $x\in (0,1)$ 都成立．
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 作圆 $x^2+y^2=a^2$ 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 $B,C$，且 $|BC|=|CF_2|$，则双曲线的离心率为_______．
已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$\forall x,y\in \mathbb R,f\left(x^2+2y\right)+2y\geqslant f\left(x^2+3y\right)$，且 $f(100)=100$，则 $f(200)=$_______．
在 $\triangle ABC$ 中，$AC=5$，$\dfrac {1}{\tan \dfrac A2}+\dfrac {1}{\tan \dfrac C2}-\dfrac {5}{\tan \dfrac B2}=0$，则 $BC+AB=$ _______．
已知 $P$ 是圆 $x^2+y^2=1$ 上一点，且不在坐标轴上，$A(1,0)$ 和 $B(0,1)$ 是坐标轴上的两点，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，则 $|AN|+2|BM|$ 的最小值为_______．
已知 $a_1,a_2,\cdots,a_9$ 为 $1,2,\cdots,9$ 的任意一个排列，则 $a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9$ 的最小值为_______．
