Math173

设椭圆 $C$ 的左、右顶点为 $A(-a,0)$，$B(a,0)$，过右焦点 $F(1,0)$ 作非水平直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P,Q$ 两点，记直线 $AP,BQ$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，试证：$\dfrac {k_1}{k_2}$ 为定值，并求此定值（用 $a$ 的函数表示）．

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设 $a_1=2$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$．证明：$\displaystyle 1-\dfrac 1{2018^{2018}}<\sum\limits_{n=1}^{2018}{\dfrac 1{a_n}}<1$．

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设 $f(m)$ 是正整数 $m$ 的各位数字的乘积，求方程 $f(m)=m^2-10m-36$ 的正整数解．

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方程 $2\sqrt{x-4}+3\sqrt{y-9}+4\sqrt{z-16}=\dfrac 1 2(x+y+z)$ 的实数解 $(x,y,z)=$ _______．

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方程 $\left[\dfrac{x+1} {10}\right]=\left[\dfrac{x-1} 5\right]$ 的解集为______．

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如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为正方形，$PA\perp ABCD$，$H,G$ 分别在 $PA,PC$ 上，且 $\dfrac{PH}{PA}=\lambda$，$\dfrac{PG}{PC}=\mu$，其中 $\mu>\lambda>0$，过直线 $GH$ 作平面与侧棱 $PB,PD$ 分别交于 $M,N$，截面把四棱锥分为上、下两部分，则上部分与下部分体积比值的最小值为_______．

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已知在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=30^\circ$，$D$ 为 $BC$ 的中点，且 $AD=1$，则（       ）

A．$\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $2-\sqrt 3$

B．$AB+AC$ 的最大值为 $2\sqrt 6-2\sqrt 2$

C．$\triangle ABC$ 周长的最小值为 $4+2\sqrt 6-2\sqrt 3-2\sqrt 2$

D．以上答案都不对

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设 $n\in\mathbb N^{\ast}$，$\theta\in\mathbb R$．求证：$\left|\sin\theta\cdot \sin 2\theta\cdots \sin 2^n\theta\right|\leqslant \left(\dfrac{\sqrt 3}2\right)^n$．

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从 $1,2,3,\cdots,2050$ 这 $2050$ 个数中任取 $2018$ 个组成集合 $A$，把 $A$ 中每个数染上红色或蓝色．求证：总存在一个染色方法，使得有 $600$ 个红数及 $600$ 个蓝数满足下列两个条件：

① 这 $600$ 个红数的和等于这 $600$ 个蓝数的和；

② 这 $600$ 个红数的平方和等于这 $600$ 个蓝数的平方和．

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设 $\displaystyle g(n)=\sum\limits_{k=1}^{n}{(k,n)}$，其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$，$(k,n)$ 表示 $k$ 与 $n$ 的最大公约数，则 $g(100)$ 的值为_______．

答案    $520$．

解析    根据函数 $g(x)$ 的定义，若正整数 $m$ 与 $n$ 互质，则 $g(mn)=g(m)\cdot g(n)$．因此\[g(100)=g(2^2)\cdot g(5^2)=8\cdot 65=520.\]

备注    事实上，若 $p$ 为质数，则 $g(p^n)=n\cdot p^{n-1}(p-1)+p^n$，证明如下．在 $1,2,\cdots,p^n$ 中，与 $p^n$ 的最大公约数为 $p^k$（$k=0,1,\cdots,n-1$）有 $p^{n-k}-p^{n-k-1}$ 个．与 $p^n$ 的最大公约数为 $p^n$ 的只有一个，为 $p^n$，求和即得．