每日一题[1169]递推

已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^{2x-2}}{x}$($x\ne 0$),记 $f_n(x)=f_{n-1}'(x)$($n\in \mathbb N^{\ast}$),$f_0(x)=f(x)$.

(1)求 $f_2(1)+f_3(1)$ 的值;

(2)求证:$nf_{n-1}(1)+f_n(1)=2^n$.

解    (1)根据题意,有\[\begin{split} f_1(x)&=\dfrac{2x-1}{x^2}\cdot {\rm e}^{2x-2},\\ f_2(x)&=\dfrac{4x^2-4x+2}{x^3}\cdot {\rm e}^{2x-2},\\ f_3(x)&=\dfrac{8x^4-12x^3+12x^2-6}{x^4}\cdot {\rm e}^{2x-2},\end{split}\]于是\[f_2(1)+f_3(1)=2+2=4.\]

(2)根据题意,有\[\left(xf(x)\right)'=2{\rm e}^{2x-2},\]也即\[f(x)+xf'(x)=2{\rm e}^{2x-2},\]两边再求导可得\[2f'(x)+xf''(x)=2^2{\rm e}^{2x-2},\]以此类推,可得\[nf_{n-1}(x)+xf_n(x)=2^n{\rm e}^{2x-2},\]于是\[nf_{n-1}(1)+f_n(1)=2^n.\]

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每日一题[1169]递推》有 2 条评论

  1. yume说:

    感觉没有理解诶,fn(x)不是等于fn-1(x)的导函数嘛,那为什么f2(x)等于f0(x)的导函数呢……

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