每日一题[1162]重新组合

已知 $a_1,a_2,\cdots,a_9$ 为 $1,2,\cdots,9$ 的任意一个排列,则 $a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9$ 的最小值为_______.

    设题中代数式为 $M$.一方面,有\[9\cdot 8\cdot 1+7\cdot 5\cdot 2+6\cdot 4\cdot 3=72+70+72=214.\]另一方面,根据均值不等式,有\[ M\geqslant 3\sqrt[3]{9!}=3\sqrt[3]{72\cdot 70\cdot 72}>3\sqrt[3]{ 71^3}=213,\]因此\[M\geqslant 214.\] 综上所述,所求 $M$ 的最小值为 $214$.

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每日一题[1162]重新组合》有 3 条评论

  1. yume说:

    第一个式子是怎么想到构造出来的呢……

  2. ccmxigua说:

    啊 原来方法这么简单,哎, 自己想不出来,我还是太年轻了。。。。

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