每日一题[1165]两边夹

已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足:$\forall x,y\in \mathbb R,f\left(x^2+2y\right)+2y\geqslant f\left(x^2+3y\right)$,且 $f(100)=100$,则 $f(200)=$_______.

    根据题意,有\[\forall x,y\in \mathbb R,f\left(x^2+2y\right)-2\left(x^2+2y\right)\geqslant f\left(x^2+3y\right)-2\left(x^2+3y\right),\]记 $g(x)=f(x)-2x$,则\[\forall x,y\in \mathbb R,g\left(x^2+2y\right)\geqslant g\left(x^2+3y\right).\]设 $a=x^2+2y$,$b=x^2+3y$,则\[x^2=3a-2b,y=b-a,\]因此若 $3a-2b\geqslant 0$,则\[g(a)\geqslant g(b),\]类似的,若 $3b-2a\geqslant 0$,则\[g(b)\geqslant g(a),\]于是对于正实数 $a$,有\[\forall b\in \left[\dfrac 23a,\dfrac 32a\right],g(b)=g(a),\]这就意味着\[\forall x>0,g(x)=C,\]其中 $C$ 为常数.因此\[g(200)=g(100)=f(100)-2\cdot 100=-100,\]从而\[f(200)=g(200)+2\cdot 200=300.\]

 

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论