每日一题[1164]半角定理

在 $\triangle ABC$ 中,$AC=5$,$\dfrac {1}{\tan \dfrac A2}+\dfrac {1}{\tan \dfrac C2}-\dfrac {5}{\tan \dfrac B2}=0$,则 $BC+AB=$ _______.

    记 $\triangle ABC$ 中 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$,半周长为 $p$,则根据半角定理,有\[\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{(p-b)(p-c)}}+\sqrt{\dfrac{p(p-c)}{(p-a)(p-b)}}=5\cdot \sqrt{\dfrac{p(p-b)}{(p-a)(p-c)}},\]于是\[p-a+p-c=5(p-b),\]即\[a+c=5b-3p,\]因此\[2p=6b-3p,\]从而 $p=6$,于是\[a+c=5b-3p=7.\]

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