每日一题[1170]构造图形

已知 $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等,则关于 $x,y$ 的方程组\[|x\cos\alpha+y\sin\alpha+1|=|x\cos\beta+y\sin\beta+1|=|x\cos\gamma+y\sin\gamma+1|\]的解的组数可能为(       )

A.$0$

B.$1$

C.$2$

D.$4$

    答案是 CD.

设直线 $l_1,l_2,l_3$ 分别为\[\begin{split} l_1&:x\cos\alpha+y\sin\alpha+1=0,\\ l_2&:x\cos\beta+y\sin\beta+1=0,\\ l_3&:x\cos\gamma+y\sin\gamma+1=0,\end{split}\]则题意即点 $P(x,y)$ 到三条直线的距离相等.注意到原点 $O$ 到直线 $l_1,l_2,l_3$ 的距离均为 $1$,且 $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等,因此 $l_1,l_2,l_3$ 是单位圆的三条不同的切线.

情形一    三条切线两两相交.此时符合题意的点 $P(x,y)$ 的位置有 $4$ 个,为这三条切线围成三角形的内心和 $3$ 个旁心.

情形二    三条切线有两条互相平行,另一条与这两条切线相交.此时符合题意的点 $P(x,y)$ 的位置有 $2$ 个. 综上所述,题中方程组的解的组数可能为 $2$ 或 $4$.

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