每日一题[1163]隐藏的定值

已知 $P$ 是圆 $x^2+y^2=1$ 上一点,且不在坐标轴上,$A(1,0)$ 和 $B(0,1)$ 是坐标轴上的两点,直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$,直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$,则 $|AN|+2|BM|$ 的最小值为_______.

    设 $P(\cos\theta,\sin\theta)$,且 $\theta\ne\dfrac{k\pi}{2},k\in\mathbb Z$,则根据截距坐标公式,有$$M\left(0,\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\right),N\left(\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta},0\right),$$因此,可得$$|AN|=\left|\dfrac{\cos\theta+\sin\theta-1}{1-\sin\theta}\right|,|BM|=\left|\dfrac{\sin\theta+\cos\theta-1}{1-\cos\theta}\right|,$$两式相乘,得$$|AN|\cdot|BM|=2,$$根据均值不等式,有$$|AN|+2|BM|\geqslant2\sqrt{|AN|\cdot2|BM|}=4,$$当且仅当 $P\left(\dfrac35,\dfrac45\right)$ 时,等号成立,故 $|AN|+2|BN|$ 的最小值为 $4$.

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