每日一题[1168]迭代函数

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的函数,则(        )

A.若 $f(f(x))>x$,则 $f(f(x))>f(x)$

B.若 $f(f(x))>f(x)$,则 $f(x)>x$

C.若 $f(f(x))>f(x)$,则 $f(f(f(x)))>f(x)$

D.若 $f(f(f(x)))>f(x)$,则 $f(f(x))>f(x)$

    对于选项 A,取\[f(x)=\begin{cases} x+2,&x\ne 0,\\ -1,&x=0,\end{cases}\]则\[f(f(x))=\begin{cases} x+4,& x\ne 0, -2,\\ -1,& x=-2,\\ 1,&x=0,\end{cases}\]此时有\[\forall x\in\mathbb R,f(f(x))>x,\]但\[f(f(-2))=-1<f(-2)=0,\]命题错误.

对于选项 B,取\[f(x)=\begin{cases} -\dfrac 12 |x|,&x\ne 0,\\ -1,&x=0,\end{cases}\]则\[f(f(x))=\begin{cases} -\dfrac 14|x|,&x>0,\\ -\dfrac 12,&x=0,\end{cases}\]此时有\[\forall x\in\mathbb R,f(f(x))>f(x),\]但\[f(1)=-\dfrac 12<1,\]命题错误.

对于选项 C,设 $E$ 为函数 $f(x)$ 的值域,则\[\forall x\in E,f(x)>x,\]而\[\forall x\in \mathbb R,f(f(x))\in E,\]于是\[\forall x\in \mathbb R,f(f(f(x)))>f(f(x)),\]从而\[\forall x\in \mathbb R,f(f(f(x)))>f(x),\]命题正确.

对于选项 D,与选项 A 相同,此时有\[f(f(f(x)))=\begin{cases} x+6,&x\ne 0,-2,-4,\\ -1,& x=-4,\\ 1,&x=-2,\\ 3,&x=0,\end{cases}\]从而有\[\forall x\in\mathbb R,f(f(f(x)))>f(x),\]但\[f(f(-2))=-1<f(-2)=0,\]命题错误.

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