每日一题[1166]焦半径公式

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$,过 $F_1$ 作圆 $x^2+y^2=a^2$ 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 $B,C$,且 $|BC|=|CF_2|$,则双曲线的离心率为_______.

    根据题意,记 $\angle BF_1F_2=\theta$,则\[\sin\theta=\dfrac ac,\]其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$,为双曲线的半焦距.进而由双曲线的焦半径公式II和双曲线的定义,可得\[|CF_1|-|BF_1|=|CF_1|-2a,\]即\[\dfrac{b^2}{c\cos\theta+a}=2a,\]也即\[\dfrac{b^2}{c\cdot \dfrac bc+a}=2a,\]解得\[\dfrac ba=1+\sqrt 3,\]因此双曲线的离心率\[e=\dfrac ca=\sqrt{1+\left(\dfrac ba\right)^2}=\sqrt{5+2\sqrt 3}.\]

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