每日一题[1167]交错级数

设函数 $f_n(x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\cdots+\dfrac{(-1)^{n+1}\cdot x^n}{n}-\ln (1+x),n\in\mathbb N^{\ast}$.

(1)判断 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内的单调性;

(2)求最大的整数 $\alpha$,使得 $|f_n(x)|<\dfrac{1}{n^{\alpha}}$ 对所有 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 及 $x\in (0,1)$ 都成立.

    (1)函数 $f_n(x)$ 的导函数\[\begin{split} f'_n(x)&=1-x+x^2-\cdots+(-1)^{n+1}\cdot x^{n-1}-\dfrac{1}{1+x}\\ &=\dfrac{1-(-1)^{n+1}\cdot x^{n-1}\cdot (-x)}{1-(-x)}-\dfrac{1}{1+x}\\ &=(-1)^{n+1}\cdot \dfrac{x^n}{1+x},\end{split}\]因此当 $n$ 是奇数时,函数 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递增;当 $n$ 是偶数时,函数 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递减.

(2)根据第 $(1)$ 小题的结果,函数 $|f_n(x)|$ 在 $(0,1)$ 内的取值范围是 $\left(0,f_n(1)\right)$.因此问题等价于\[\forall n\in \mathbb N^{\ast},\left|1-\dfrac 12+\dfrac 13-\cdots+\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}-\ln 2\right|<\dfrac{1}{n^{\alpha}}.\]若 $\alpha\geqslant 2$,取 $n=3$,则\[\left|1-\dfrac 12+\dfrac 13-\ln 2\right|>\dfrac 19\geqslant \dfrac{1}{3^\alpha},\]不符合题意.接下来证明 $\alpha$ 可以取 $1$.根据第 $(1)$ 小题的结果,$f_n(x)$ 与 $f_{n+1}(x)$ 异号,又\[\left|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\right|=\dfrac{x^{n+1}}{n},\]于是\[\forall n\in \mathbb N^{\ast},\left|f_n(x)\right|<\dfrac{x_{n+1}}{n}<\dfrac 1n,\]因此 $\alpha=1$ 符合题意. 综上所述,最大的整数 $\alpha$ 为 $1$.

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每日一题[1167]交错级数》有 2 条评论

  1. di说:

    好像是的,但结果是对的。
    还有请问一下怎么证明n取3时,绝对值号内的式子大于1/9?

  2. NaOH说:

    第一问求导有误?

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