已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1}=0$，$a_{n}=\begin{cases}2a_{\frac{n}{2}}+1,&2\mid n,\\ \dfrac{n+1}{2}+2a_{\frac{n-1}{2}},&2\nmid n\end{cases},n=2,3,4,\cdots$．
1、求 $a_{5},a_{6},a_{7}$．
2、设 $b_{n}=\dfrac{a_{2^{n}-1}}{2^{n}}$，试求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．
3、对任意的正整数 $n$，试讨论 $a_{n}$ 与 $a_{n+1}$ 的大小关系．
已知曲线 $C:xy=1$，过 $C$ 上一点 $A_{1}(x_{1},y_{1})$ 作斜率 $k_{1}$ 的直线，交曲线 $C$ 于另一点 $A_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$，再过 $A_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$ 作斜率为 $k_{2}$ 的直线，交曲线 $C$ 于另一点 $A_{3}(x_{3},y_{3})$，$\cdots$，过 $A_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)$ 作斜率为 $k_{n}$ 的直线，交曲线 $C$ 于另一点 $A_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})$，$\cdots$，其中 $x_{1}=1$，$k_{n}=-\dfrac{x_{n}+1}{x_{n}^{2}+4x_{n}},x\in\mathbb N^{*}$．
1、求 $x_{n+1}$ 与 $x_{n}$ 的关系式．
2、判断 $x_{n}$ 与 $2$ 的大小关系，并证明你的结论．
3、求证：$|x_{1}-2|+|x_{2}-2|+\cdots+|x_{n}-2|<2$．
给定项数 $m$（$m\in\mathbb N^{*}$，$m\geqslant 3$）的数列 $\{a_{n}\}$，其中 $a_{i}\in\{0,1\}$（$i=1,2,\cdots,m$）．若存在一个正整数 $k(2\leqslant k\leqslant m-1)$，若数列 $\{a_{n}\}$ 中存在连续的 $k$ 项和该数列中另一个连续的 $k$ 项恰好按次序对应，则称数列 $\{a_{n}\}$ 是“$k$ 阶可重复数列”，例如：数列 $\{a_{n}\}:0,1,1,0,1,1,0$．因为 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 与 $a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ 按次序对应相等，所以数列 $\{a_{n}\}$ 是“$4$ 阶可重复数列”．
1、分别判断下列数列：
① $\{b_{n}\}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0$；
② $\{c_{n}\}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1$．
是否是“$5$ 阶重复数列”？如果是，请写出重复的这 $5$ 项．
2、若项数为 $m$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 一定是“$3$ 阶可重复数列”，则 $m$ 的最小值是多少？说明理由．
3、假设数列 $\{a_{n}\}$ 不是“$5$ 阶可重复数列”，若在其最后一项 $a_{m}$ 后再添加一项 $0$ 或 $1$，均可使新数列是“$5$ 阶可重复数列”，且 $a_{4}=1$，求数列 $\{a_{n}\}$ 的最后一项 $a_{m}$ 的值．
已知数集 $\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$（$1\leqslant a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$，$n\geqslant 2$）具有性质 $P$：对任意的 $i,j$（$1\leqslant i\leqslant j\leqslant n$），$a_{i}a_j$ 与 $\dfrac{a_{j}}{a_{i}}$ 两数中至少有一个属于 $A$．
1、分别判断数集 $\{1,3,4\}$ 与 $\{1,2,3,6\}$ 是否具有性质 $P$，并说明理由．
2、证明：$a_{1}=1$，且 $\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}$．
3、证明：当 $n=5$ 时，$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ 成等比数列．
已知对于任意的 $x\in [-1,1]$，都有 $|ax^2+bx+c|\leqslant 1$，求证：对于任意的 $x\in [-1,1]$，都有 $|cx^2+bx+a|\leqslant 2$．
如图，在单位四面体 $ABCD$ 中，$M,N,K$ 分别在棱 $AB,AD,BD$ 上，满足 $BM=DN=\dfrac 13$，$DK=\dfrac 14$，则面 $ACK$ 与面 $CMN$ 所夹锐角的余弦值为_______．
已知 $100$ 个不大于 $100$ 的正整数 $a_i$，满足 $a_1+a_2+\cdots+a_{100}=200$，求证：可以从 $a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ 中选出若干个数，它们的和为 $100$．
任意 $m$ 个连续正整数中，必有一个数的各位数码之和是 $11$ 的倍数，则 $m$ 的最小值为_______．
严格递增的正实数数列 $\{x_n\}$ 满足：$x\in\{x_n\}$ 当且仅当 $x+\{x\}^2$ 为整数（其中等式中的 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分），那么这个数列的前 $100$ 项之和是______．
在坐标平面内，从原点出发以同一初速度 $v_0$ 和不同发射角（即发射方向与 $x$ 轴轴向之间的夹角）$\alpha$（$\alpha\in [0,\pi]$，$\alpha\ne \dfrac{\pi}2$）射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点．证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程．
