每日一题[1483]可重复数列

给定项数 $m$($m\in\mathbb N^{*}$,$m\geqslant 3$)的数列 $\{a_{n}\}$,其中 $a_{i}\in\{0,1\}$($i=1,2,\cdots,m$).若存在一个正整数 $k(2\leqslant k\leqslant m-1)$,若数列 $\{a_{n}\}$ 中存在连续的 $k$ 项和该数列中另一个连续的 $k$ 项恰好按次序对应,则称数列 $\{a_{n}\}$ 是“$k$ 阶可重复数列”,例如:数列 $\{a_{n}\}:0,1,1,0,1,1,0$.因为 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 与 $a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ 按次序对应相等,所以数列 $\{a_{n}\}$ 是“$4$ 阶可重复数列”.

1、分别判断下列数列:

① $\{b_{n}\}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0$;

② $\{c_{n}\}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1$.

是否是“$5$ 阶重复数列”?如果是,请写出重复的这 $5$ 项.

2、若项数为 $m$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 一定是“$3$ 阶可重复数列”,则 $m$ 的最小值是多少?说明理由.

3、假设数列 $\{a_{n}\}$ 不是“$5$ 阶可重复数列”,若在其最后一项 $a_{m}$ 后再添加一项 $0$ 或 $1$,均可使新数列是“$5$ 阶可重复数列”,且 $a_{4}=1$,求数列 $\{a_{n}\}$ 的最后一项 $a_{m}$ 的值.

解析

1、① 是,$0,0,1,1,0$;② 不是.

2、先构造一个尽可能长的非“$3$ 阶可重复数列”,如 $0001011100$.该数列中组合 $000\sim 111$ 均已出现. 若 $m\geqslant 11$,则此时 $(a_{1},a_{2},a_{3})$,$(a_{2},a_{3},a_{4})$,$\cdots$,$a_{9},a_{10},a_{11})$ 共 $9$ 组连续 $3$ 项中必然会出现相同的组. 综上,$m$ 的最小值为 $11$.

3、数列 $\{a_{m}\}$ 为 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\cdots,a_{m-4},a_{m-3},a_{m-1},a_{m}$,其中 $a_{4}=1$.根据题意存在 $1\leqslant i,j\leqslant m-4$,使得\[\left(a_{i},a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3},a_{i+4}\right)=\left(a_{m-3},a_{m-2},a_{m-1},a_{m},0\right),\]且\[\left(a_{j},a_{j+1},a_{i+2},a_{j+3},a_{j+4}\right)=\left(a_{m-3},a_{m-2},a_{m-1},a_{m},0\right),\]于是 $a_{i+4}=0$,$a_{j+4}=1$,所以 $i\ne j$,不妨设 $i<j$. 此时\[\left(a_{i},a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3}\right)=\left(a_{j},a_{j+1},a_{i+2},a_{j+3}\right)=\left(a_{m-3},a_{m-2},a_{m-1},a_{m}\right).\]若 $i\ne 1$,则 $\left(a_{i},a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3}\right)$,$\left(a_{j},a_{j+1},a_{i+2},a_{j+3}\right)$,$\left(a_{m-3},a_{m-2},a_{m-1},a_{m}\right)$ 中必然会出现两个相同的连续 $5$ 项,矛盾. 所以 $i=1$,即$$(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})=(a_{m-3},a_{m-2},a_{m-2},a_{m}),$$所以 $a_{m}=a_{4}=1$.

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