每日一题[1482]排序映射

已知数集 $\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$($1\leqslant a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$,$n\geqslant 2$)具有性质 $P$:对任意的 $i,j$($1\leqslant i\leqslant j\leqslant n$),$a_{i}a_j$ 与 $\dfrac{a_{j}}{a_{i}}$ 两数中至少有一个属于 $A$.

1、分别判断数集 $\{1,3,4\}$ 与 $\{1,2,3,6\}$ 是否具有性质 $P$,并说明理由.

2、证明:$a_{1}=1$,且 $\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}$.

3、证明:当 $n=5$ 时,$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ 成等比数列.

解析

1、$\{1,3,4\}$ 不具有性质 $P$;$\{1,2,3,6\}$ 具有性质 $P$.

2、因为 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$ 具有性质 $P$,所以 $a_{n}a_{n}$ 与 $\dfrac{a_{n}}{a_{n}}$ 中至少有一个属于 $A$. 由于$$1\leqslant a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n},$$所以 $a_{n}a_{n}>a_{n}$,故 $a_{n}a_{n}\not\in A$,从而 $1=\dfrac{a_{n}}{a_{n}}\in A$,故$$a_{1}=1.$$ 因为$$1=a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n},$$所以 $a_{k}a_{n}>a_{n}$,故 $a_{k}a_{n}\not\in A(k=2,3,\cdots,n)$,由于 $A$ 具有性质 $P$ 可知$$\dfrac{a_{n}}{a_{k}}\in A(k=1,2,\cdots,n).$$ 又因为 $\dfrac{a_{n}}{a_{n}}<\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}<\cdots<\dfrac{a_{n}}{a_{2}}<\dfrac{a_{n}}{a_{1}}$,所以\[\dfrac{a_{n}}{a_{n}}=a_{1},\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=a_{2},\cdots,\dfrac{a_{n}}{a_{2}}=a_{n-1},\dfrac{a_{n}}{a_{1}}=a_{n}.\]从而\[\dfrac{a_{n}}{a_{n}}+\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}+\cdots+\dfrac{a_{n}}{a_{2}}+\dfrac{a_{n}}{a_{1}}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}+a_{n},\]故 $\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}$.

3、由第$(2)$小题的结果知,当 $n=5$ 时,有 $\dfrac{a_{5}}{a_{4}}=a_{2}$,$\dfrac{a_{5}}{a_{3}}=a_{3}$,即$$a_{5}=a_{2}a_{4}=a_{3}^{2}.$$ 因为 $1=a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{5}$,所以$$a_{3}a_{4}>a_{2}a_{4}=a_{5},$$故 $a_{3}a_{4}\not\in A$. 由 $A$ 具有性质 $P$ 可知 $\dfrac{a_{4}}{a_{3}}\in A$. 由 $a_{2}a_{4}=a_{3}^{2}$ 得$$\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\dfrac{a_{4}}{a_{2}}\in A\land 1<\dfrac{a_{3}}{a_{2}}<a_{3},$$ 所以$$\dfrac{a_{4}}{a_{3}}=\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=a_{2},$$ 故$$\dfrac{a_{5}}{a_{4}}=\dfrac{a_{4}}{a_{3}}=\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=a_{2},$$ 即 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ 是首项为 $1$,公比为 $a_{2}$ 的等比数列.

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