每日一题[1477]高斯函数

严格递增的正实数数列 $\{x_n\}$ 满足:$x\in\{x_n\}$ 当且仅当 $x+\{x\}^2$ 为整数(其中等式中的 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分),那么这个数列的前 $100$ 项之和是______.

答案    $2475+25\sqrt 5$.

解析    用 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分,则\[x+\{x\}^2\in\mathbb Z\iff [x]+\{x\}+\{x\}^2\in\mathbb Z\iff \{x\}+\{x\}^2\in\mathbb Z,\]而\[0\leqslant\{x\}+\{x\}^2<2,\]于是\[\{x\}+\{x\}^2=0,1\]解得\[\{x\}=0,\dfrac{\sqrt 5-1}2,\]因此所求和为\[\sum_{k=0}^{49}\left(\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2+k\right)+(k+1)\right)=2475+25\sqrt 5.\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论