每日一题[1479]均分

已知 $100$ 个不大于 $100$ 的正整数 $a_i$,满足 $a_1+a_2+\cdots+a_{100}=200$,求证:可以从 $a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ 中选出若干个数,它们的和为 $100$.

解析    若这 $100$ 个数全部相等,则它们均为 $2$,命题显然成立. 若这 $100$ 个数不全相等,不妨设 $a_1<a_2$,考虑如下 $100$ 个数\[a_1,a_2,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\cdots,a_1+a_2+\cdots+a_{99},\]若这 $100$ 个数中有 $100$,则命题成立;否则考虑这些数模 $100$ 的余数,根据抽屉原理,必然存在两个数同余,且这两个数不可能为 $a_1,a_2$,此时这两个数的差即为一些数的和为 $100$ 的例子,命题得证. 综上所述,原命题得证.

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