如图，边长为 $2$ 的等边三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E,F$ 分别是边 $AB,AC$ 上的动点．
1、若 $\angle EDF=120^{\circ}$，求证：$AE+AF$ 为定值．
2、若 $\angle EDF=60^{\circ}$，此时 $AE+AF$ 是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出 $AE+AF$ 的取值范围．
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每日一题[1649]左右为难
已知正项数列 $\{a_n\}$，满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{\sqrt{a_n^2+1}}$，求证：$$\ln(n+1)<a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_{n+1}<\ln\left(\dfrac{2n}3+1\right)+\dfrac12.$$
每日一题[1648]代数与几何
已知 $x,y,z$ 是正数，且满足$$\begin{cases} x^2+y^2+xy=3,\\ y^2+z^2+yz=4,\\ z^2+x^2+zx=7.\end{cases}$$求 $x+y+z$．
每日一题[1647]分拆
证明：
1、对于任意的 $a,b>0$，有 $\dfrac {1}{a+b}\leqslant \dfrac 14\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b\right)$．
2、设 $x_1,x_2,x_3>0$，且 $\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}+\dfrac {1}{x_3}=1$，则$$\dfrac {x_1+x_2+x_3}{x_1x_3+x_3x_2}+\dfrac {x_1+x_2+x_3}{x_1x_2+x_3x_1}+\dfrac {x_1+x_2+x_3}{x_2x_1+x_3x_2}\leqslant \dfrac 32.$$
每日一题[1646]暗藏陷阱
已知数列 $\{a_n\}$ 首项为 $2$，且满足 $6S_n=3a_{n+1}+4^n-1$，其中 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_n$ 的最大值为_______．
每日一题[1645]红色三角形
平面上 $2n$ 个点（$n>1$，$n \in \mathbb N$），无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意 $n^2+1$ 条线段染成红色．求证：三边都为红色的三角形至少有 $n$ 个．
每日一题[1644]根式的整理
设 $x,y$ 是非负实数，$a=\sqrt x+\sqrt y$，$b=\sqrt {x+2}+\sqrt {y+2}$．若 $a,b$ 是两个不相邻的整数，求 $a,b$ 的值．
每日一题[1643]和差化积
设函数 $f_n(x)=1+x+\dfrac {1}{2!}x^2+\cdots+\dfrac {1}{n!}x^n$．
1、求证：当 $x\in (0,+\infty)$，$n \in \mathbb N^+$ 时，${\mathrm e}^x>f_n(x)$． 设 $x>0$，$n \in \mathbb N^{\ast}$．
2、若存在 $y \in \mathbb R$ 使得 ${\mathrm e}^x=f_n(x)+\dfrac {1}{(n+1)!}x^{n+1}{\mathrm e}^y$．求证：$0<y<x$．
每日一题[1642]联立与不联立
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C: \dfrac {x^2}{3}+y^2=1$ 的上顶点为 $A$．不经过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P,Q$ 两点，且 $\overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {AQ}=0$．
1、直线 $l$ 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
2、过 $P,Q$ 两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点 $B$，求 $\triangle BPQ$ 面积的取值范围．