每日一题[1476]正交点轨迹

在坐标平面内,从原点出发以同一初速度 $v_0$ 和不同发射角(即发射方向与 $x$ 轴轴向之间的夹角)$\alpha$($\alpha\in [0,\pi]$,$\alpha\ne \dfrac{\pi}2$)射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有这些抛物线组成一个抛物线族,若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直,则称这个交点为正交点.证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的方程.

解析       以运动时间为参数 $t$,可得抛物线的参数方程为\[\begin{cases} x=v_0\cos\alpha\cdot t,\\ y=v_0\sin\alpha\cdot t-\dfrac 12gt^2\end{cases}\]于是抛物线的方程为\[\Gamma_\alpha:y=\tan\alpha\cdot x-\dfrac{g(1+\tan^2\alpha)}{2v_0^2}\cdot x^2,\]也即\[\dfrac{gx^2}{2v_0^2}\tan^2\alpha-x\tan\alpha +\dfrac{gx^2}{2v_0^2}+y=0,\]设抛物线 $\Gamma_{\alpha_1}$ 与 $\Gamma_{\alpha_2}$ 的交点 $P(x_0,y_0)$ 为正交点,则\[\begin{cases}\tan\alpha_1+\tan\alpha_2=\dfrac{2v_0^2}{gx_0},\\ \tan\alpha_1\cdot \tan\alpha_2=1+\dfrac{2v_0^2y_0}{gx_0^2},\end{cases}\]而根据题意,有\[\left(\tan\alpha_1-\dfrac{gx_0(1+\tan^2\alpha_1)}{v_0^2}\right)\left(\tan\alpha_2-\dfrac{gx_0(1+\tan^2\alpha_2)}{v_0^2}\right)=-1,\]即\[\left(\dfrac{2y_0}{x_0}-\tan\alpha_1\right)\left(\dfrac{2y_0}{x_0}-\tan\alpha_2\right)=-1,\]将韦达定理得到的结果代入,化简可得\[\dfrac{x_0^2}2+y_0^2-\dfrac{v_0^2y_0}{2g}=0,\]于是所求椭圆弧的方程为\[\dfrac{x^2}{2k^2}+\dfrac{(y-k)^2}{k^2}=1,\]其中 $k=\dfrac{v_0^2}{4g}$.

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