每日一题[1478] 前后为难

任意 $m$ 个连续正整数中,必有一个数的各位数码之和是 $11$ 的倍数,则 $m$ 的最小值为_______.

答案      $38$.

解析    首先存在 $38$ 个连续的正整数,其中每一个数的数码之和不是 $11$ 的倍数,构造如下\[999981,999982,\cdots,1000018.\]接下来证明当 $m\geqslant 39$ 时符合题意.此时这 $m$ 个正整数中必然有一个数的十位数不大于 $8$,且该数后至少有 $19$ 个数在所取的 $m$ 个连续的正整数中,设这个数为 $a$.考虑\[a,a+1,a+2,\cdots,a+9,a+19,\]它们的数码之和构成 $11$ 个连续的正整数,因此必然有一个是 $11$ 的倍数.

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