任意 $m$ 个连续正整数中，必有一个数的各位数码之和是 $11$ 的倍数，则 $m$ 的最小值为_______．
答案 $38$．
解析 首先存在 $38$ 个连续的正整数，其中每一个数的数码之和不是 $11$ 的倍数，构造如下\[999981,999982,\cdots,1000018.\]接下来证明当 $m\geqslant 39$ 时符合题意．此时这 $m$ 个正整数中必然有一个数的十位数不大于 $8$，且该数后至少有 $19$ 个数在所取的 $m$ 个连续的正整数中，设这个数为 $a$．考虑\[a,a+1,a+2,\cdots,a+9,a+19,\]它们的数码之和构成 $11$ 个连续的正整数，因此必然有一个是 $11$ 的倍数．