每日一题[1485]分段数列

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足:$a_{1}=0$,$a_{n}=\begin{cases}2a_{\frac{n}{2}}+1,&2\mid n,\\ \dfrac{n+1}{2}+2a_{\frac{n-1}{2}},&2\nmid n\end{cases},n=2,3,4,\cdots$.

1、求 $a_{5},a_{6},a_{7}$.

2、设 $b_{n}=\dfrac{a_{2^{n}-1}}{2^{n}}$,试求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

3、对任意的正整数 $n$,试讨论 $a_{n}$ 与 $a_{n+1}$ 的大小关系.

解析

1、根据题意,有\[\begin{array} {c|ccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline a_n&0&1&2&3&5&5&8\\ \hline \end{array}\]

2、因为$$b_{n+1}=b_{n}+\dfrac{1}{2},$$且$$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{2}=0,$$所以 $b_{n}=\dfrac{n-1}{2}$.

3、情形一    $n=1,3$ 时,因为 $a_{2}>a_{1}$,$a_{4}>a_{3}$,所以 $a_{n}<a_{n+1}$;

情形二    $n=2k$,$k\in\mathbb N^{*}$ 时,$$\begin{split}a_{n}-a_{n+1}&=a_{2k}-a_{2k+1}\\ &=(1+2a_{k})-(k+1+2a_{k})\\ &=-k<0.\end{split}$$

情形三    $n=4k+1$,$k\in\mathbb N^{*}$ 时,\[\begin{split}a_{n}-a_{n+1}&=a_{4k+1}-a_{4k+2}\\ &=(2k+2+2a_{2k})-(1+2a_{2k+1})\\ &=2k+2a_{2k}-2a_{2k+1}=0.\end{split}\]

情形四    $n=4k+3$,$k\in\mathbb N^{*}$ 时,\[\begin{split}a_{n}-a_{n+1}&=a_{4k+3}-a_{4k+4}\\&=(2k+2+2a_{2k})-(1+a_{2k+2})\\&=2k+1+2a_{2k+1}-2a_{2k+2}\\&=2k+1+2(k+1+2a_{k})-2(1+2a_{k+1})\\&=4(k+a_{k}-a_{k+1})+1.\end{split}\]

当 $k$ 为偶数时,$a_{k}-a_{k+1}=-\dfrac{k}{2}$,所以 $a_{n}-a_{n+1}>0$; 当 $k$ 为奇数时,设 $k=2m+1$,则\[\begin{split}k+a_{k}-a_{k+1}&=2m+1+(m+1+2a_{m})-(1+2a_{m+1})\\&=2(m+a_{m}-a_{m+1})+m+1 \\&\geqslant m+a_{m}-a_{m+1}.\end{split}\]于是问题可以化归至当 $k=1$ 时情形,此时$$k+a_{k}-a_{k+1}=0.$$ 因此对任意奇数 $k,k+a_{k}-a_{k+1}\geqslant 0$,于是 $a_{n}-a_{n+1}>0$. 综上所述,当 $n=1,3$ 或 $n=2k$ 时,$a_{n}<a_{n+1}$;当 $n=4k+1$ 时,$a_{n}=a_{n+1}$;当 $n=4k+3$ 时,$a_{n}>a_{n+1}$.其中 $k\in\mathbb N^{*}$.

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