在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AC=3$，$\sin C=k\sin A$（$k\geqslant2$），则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_______．
设点 $O$ 为三角形 $ABC$ 内一点，且满足关系式：\[\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA},\]则 $\dfrac {S_{\triangle AOB}+2S_{\triangle BOC}+3S_{\triangle COA}} {S_{\triangle ABC}}=$ _______．
已知棱长为 $\sqrt3$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 $AC_1$ 为轴，则该圆柱体积的最大值为________．
已知 $\dfrac{\sin\theta} {\sqrt 3\cos\theta+1}>1$，则 $\tan\theta$ 的取值范围是_______．
如图，$F_1,F_2$ 是双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于 $A,B$．又设 $O$ 为坐标原点．
1、求证：$|OA|\cdot |OB| =| OF_1| ^2$．
2、求证：$F_1,F_2,A,B$ 四点在一个圆上．
设 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3-17x-18=0$ 的三个根，$-4<x_1<-3$，且 $4<x_3<5$．
1、求 $x_2$ 的整数部分．
2、求 $\arctan x_1+\arctan x_2 + \arctan x_3$ 的值．
设 $W$ 是由平面内的 $n $（$ n\geqslant 3 $）个向量组成的集合．若 $ \overrightarrow{a}\in W $，且 $ \overrightarrow{a} $ 的模不小于 $ W $ 中除 $ \overrightarrow{a} $ 外的所有向量之和的模，则称 $ \overrightarrow{a} $ 是 $ W $ 的一个极大向量．有下列命题：
① 若 $ W $ 中每个向量的方向都相同，则 $ W $ 中必存在一个极大向量；
② 给定平面内两个不共线向量 $ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} $，在该平面内总存在唯一的平面向量 $ \overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} $，使得 $ W=\left\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right\} $ 中的每个元素都是极大向量；
③ 若 $ W_1=\left\{\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2,\overrightarrow{a}_3\right\} $ 与 $ W_2=\left\{\overrightarrow{b}_1,\overrightarrow{b}_2,\overrightarrow{b}_3\right\} $ 中的每个元素都是极大向量，且 $ W_1\cap W_2=\varnothing $，则 $ W_1\cup W_2$ 中的每一个元素也都是极大向量．
其中真命题的序号有_______．
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列 $\{a_{n}\}$ 是调和数列，对于各项都是正数的数列 $\{x_{n}\}$，满足 $x_{n}^{a_{n}}=x_{n+1}^{a_{n+1}}=x_{n+2}^{a_{n+2}}$（$n\in\mathbb N^{*}$）．
1、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是等比数列．
2、把数列 $\{x_{n}\}$ 中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当 $x_{3}=8$，$x_{7}=128$ 时，求第 $m$ 行各数的和； \[\begin{array}{cccc}\\ x_{1}&&&\\ x_{2}&x_{3}&&\\ x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ x_{7}&x_{8}&x_{9}&x_{10}\\ \cdots&\cdots&&\\ \end{array}\]
3、对于 $(2)$ 中的数列 $\{x_{n}\}$，证明：$\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}<\dfrac{x_{1}-1}{x_{2}-1}+\dfrac{x_{2}-1}{x_{3}-1}+\cdots+\dfrac{x_{n}-1}{x_{n+1}-1}<\dfrac{n}{2}$．
对于各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$，如果 $a_{i}+i$（$i=1,2,3,\cdots$）为完全平方数，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“$P$ 性质”． 不论数列 $\{a_{n}\}$ 是否具有“$P$ 性质”，如果存在与 $\{a_{n}\}$ 不是同一个数列的 $\{b_{n}\}$，且 $\{b_{n}\}$ 同时满足下面两个条件； ① $b_{1},b_{2},b_{3},\cdots,b_{n}$ 是 $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ 是一个排列； ② 数列 $b_{n}$ 具有“$P$ 性质”，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“变换 $P$ 性质”．
1、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\dfrac{n}{3}\left(n^{2}-1\right)$，证明数列 $\{a_{n}\}$ 具有“性质 $P$”．
2、试判断数列 $1,2,3,4,5$ 和数列 $1,2,3,\cdots,11$ 是否具有“变换 $P$ 性质”，具有此性质的数列请写出对应的数列 $\{b_{n}\}$，不具此性质的说明理由．
3、对于有限项数列 $A:1,2,3,\cdots,n$．某人已经验证当 $n\in[12,m^{2}](m\geqslant 5)$ 时，数列 $A$ 具有“变换 $P$ 性质”．试证明：当 $n\in\left[m^{2}+1,(m+1)^{2}\right]$ 时，数列 $A$ 也具有“变换 $P$ 性质”．
