每日一题[1480]构造幕布

如图,在单位四面体 $ABCD$ 中,$M,N,K$ 分别在棱 $AB,AD,BD$ 上,满足 $BM=DN=\dfrac 13$,$DK=\dfrac 14$,则面 $ACK$ 与面 $CMN$ 所夹锐角的余弦值为_______.

答案       $\dfrac{\sqrt 6}9$.

解析       如图,设 $MN$ 与 $AK$ 交于点 $G$,$BD$ 中点为 $P$.平面 $ACP$ 与平面 $CMN$ 的交线为 $CO$,其中 $O$ 为底面中心,则 $CMN\perp ACP$.

容易证明 $A$ 在平面 $CMN$ 中的投影为 $O$,于是面 $ACK$ 与面 $CMN$ 所夹锐角的余弦值\[\cos\theta=\dfrac{S_{\triangle COG}}{S_{\triangle ACG}}=\dfrac{\dfrac 14S_{\triangle CMN}}{\dfrac 23S_{\triangle ACK}}=\dfrac{\dfrac 14\cdot \dfrac{\sqrt 6}9}{\dfrac 23\cdot \dfrac 38}=\dfrac{\sqrt 6}9.\]

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