每日一题[1484]等比放缩

已知曲线 $C:xy=1$,过 $C$ 上一点 $A_{1}(x_{1},y_{1})$ 作斜率 $k_{1}$ 的直线,交曲线 $C$ 于另一点 $A_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$,再过 $A_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$ 作斜率为 $k_{2}$ 的直线,交曲线 $C$ 于另一点 $A_{3}(x_{3},y_{3})$,$\cdots$,过 $A_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)$ 作斜率为 $k_{n}$ 的直线,交曲线 $C$ 于另一点 $A_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})$,$\cdots$,其中 $x_{1}=1$,$k_{n}=-\dfrac{x_{n}+1}{x_{n}^{2}+4x_{n}},x\in\mathbb N^{*}$.

1、求 $x_{n+1}$ 与 $x_{n}$ 的关系式.

2、判断 $x_{n}$ 与 $2$ 的大小关系,并证明你的结论.

3、求证:$|x_{1}-2|+|x_{2}-2|+\cdots+|x_{n}-2|<2$.

解析

1、由已知过 $A_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)$ 斜率为 $-\dfrac{x_{n}+1}{x_{n}^{2}+4x_{n}}$ 的直线为$$y-y_{n}=-\dfrac{x_{n}+1}{x_{n}^{2}+4x_{n}}(x-x_{n}),$$直线交曲线 $C$ 于另一点 $A_{n+1}\left(x_{n+1},y_{n+1}\right)$,所以$$y_{n+1}-y_{n}=-\dfrac{x_{n}+1}{x_{n}^{2}+4x_{n}}(x_{n+1}-x_{n}),$$即\[\dfrac{1}{x_{n+1}}-\dfrac{1}{x_{n}}=-\dfrac{x_{n}+1}{x_{n}^{2}+4x_{n}}(x_{n+1}-x_{n}),\]因为 $x_{n+1}-x_{n}\ne 0$,所以$$x_{n+1}=\dfrac{x_{n}+4}{x_{n}+1},n\in\mathbb N^{*}.$$

2、由 $(1)$ 可得\[x_{n}-2=\dfrac{x_{n-1}+4}{x_{n-1}+1}-2=\dfrac{x_{n-1}-2}{x_{n-1}+1}.\]注意到 $x_{n}>0$,所以 $x_{n}-2$ 与 $x_{n-1}-2$ 异号.由于 $x_{1}=1<2$,所以 $x_{2}>2$.依次类推,当 $n$ 为奇数时 $x_{n}<2$,当 $n$ 为偶数时,$x_{n}>2$.

3、由于$$x_{n}>0,x_{n+1}=\dfrac{x_{n}+4}{x_{n}+1}=1+\dfrac{3}{x_{n}+1},$$所以 $x_{n}\geqslant 1$($n=1,2,3,\cdots$).于是\[\left|x_{n+1}-2\right|=\left|\dfrac{x_{n}-2}{x_{n}+1}\right|=\dfrac{\left|x_{n}-2\right|}{x_{n}+1}\leqslant \dfrac{1}{2}\left|x_{n}-2\right|,\]则有\[\begin{split}\left|x_{n}-2\right|&\leqslant \dfrac{1}{2}\left|x_{n-1}-2\right|\\ &\leqslant \dfrac{1}{2^{2}}\left|x_{n-2}-2\right|\\ &\leqslant \cdots\\ &\leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}\left|x_{1}-2\right|=\dfrac{1}{2^{n-1}},\end{split}\]因此\[\begin{split}LHS&\leqslant 1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\\&=2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}<2,\end{split}\]命题得证.

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