在边长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 内部有一小球，该小球与正方体的对角线 $AC_1$ 相切，则小球半径的最大值为_______．
函数 $f(x)=\left|\sin\left(2x\right)+\sin\left(3x\right)+\sin\left(4x\right)\right|$ 的最小正周期为_______．
证明：
1、$\dfrac 1{2^k} + \dfrac 1{2^k+1} + \dfrac 1{2^k+2} + \dots +\dfrac 1{2^{k+1}-1} <1$（$k \geqslant 2$，$k \in \mathbb N^{\ast}$）．
2、分别以 $1,\dfrac 12,\dfrac 13,\cdots,\dfrac 1n,\cdots$ 为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为 $\dfrac 32$ 的正方形内．
已知椭圆 $C$：$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac {\sqrt 2}2$，直线 $y=2x-1$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $\lvert AB \rvert=\dfrac {8\sqrt5}9$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、过点 $M(2,0)$ 的直线 $l$（斜率不为零）与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $E,F$，求 $\triangle OME$ 与 $\triangle OMF$ 的面积之比 $\lambda$ 的取值范围．
顺次连接圆 $x^2+y^2=9$ 与双曲线 $xy=3$ 的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为_______．
若实数 $a$ 使得不等式 $\lvert x-2a \rvert+\lvert 2x-a \rvert \geqslant a^2$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
如图，在 $\triangle ABD$ 中，点 $C$ 在 $AD$ 上，$\angle ABC= \dfrac {\pi}2$，$\angle DBC= \dfrac {\pi}6$，$AB=CD=1$，则 $AC=$_______．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2} {a^2}+\dfrac{y^2} {b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt3} 2$，并且过点 $P(2,-1)$．
1、求$C$ 的方程．
2、设点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，且 $PQ$ 与 $x$ 轴平行，过 $P$ 点作两条直线分别交椭圆 $C$ 于点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．若直线 $PQ$ 平分 $\angle APB$，求证：直线 $AB$ 的斜率是定值，并求出这个定值．
已知抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）和动直线 $ l:y=kx+b $（$ k,b $ 是参变量，且 $ k\neq 0 $，$ b\neq 0 $）相交于 $ A(x_1,y_1)$，$ B(x_2,y_2)$ 两点，平面直角坐标系的原点为 $ O $，记直线 $ OA,OB $ 的斜率分别为 $ k_{OA},k_{OB} $，若 $ k_{OA}\cdot k_{OB}=\sqrt3 $ 恒成立，则当 $ k $ 变化时直线 $ l$ 恒经过的定点为（ ）
A．$\left(-\sqrt3p,0\right)$
B．$\left(-2\sqrt3p,0\right)$
C．$\left(-\dfrac{\sqrt3p} 3,0\right)$
D．$\left(-\dfrac{2\sqrt3p} 3,0\right)$
已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 为平面上的单位向量，$\left|\overrightarrow c\right|=\sqrt{26}$，且 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c=1$，则 $\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c\right|$ 的最大值为_______．
答案 $\sqrt{29}$．
解析 如图，$A,B$ 是单位圆 $O$ 上的点，$OC=\sqrt{26}$，$OA\perp AC$，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow c $．
设 $ OC $ 到 $ OB $ 的角为 $ \theta $，则 $ OA $ 到 $ OB $ 的角为 $ \theta-\arctan 5$，进而\[\begin{split} \left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c\right|&=|\cos(\theta-\arctan 5)|+\sqrt{26}\cdot |\cos\theta|\\ &=\dfrac{\left|\cos\theta+5\sin\theta\right|+26|\cos\theta|}{\sqrt{26}}\\ &\leqslant \dfrac{27|\cos\theta|+5|\sin\theta|}{\sqrt{26}}\\ &\leqslant \dfrac{\sqrt{27^2+5^2}}{\sqrt{26}}\\ &=\sqrt{29},\end{split}\]等号当 $\theta=\arctan\dfrac{5}{27}$ 时取得，因此所求最大值为 $\sqrt{29}$．
