每日一题[1702]区域的直径

如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径,那么曲线 $x^4+y^2=1$ 围成的平面区域的直径为_______.

答案      $\sqrt 5$.

解析      设坐标原点为 $O$,题中平面区域内两点为 $P,Q$,设 $P(x,y)$,则\[|OP|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+1-x^4}=\sqrt{x^2(1-x^2)+1}\leqslant \dfrac{\sqrt 5}2,\]等号当 $x^2=\dfrac 12$ 时取得,从而\[|PQ|\leqslant |OP|+|OQ|\leqslant \sqrt 5,\]等号当 $P\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$,$Q\left(-\dfrac{\sqrt 2}2,-\dfrac{\sqrt 3}2\right)$ 时取得,因此所求直径为 $\sqrt 5$.

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