每日一题[1707]斜坐标系

已知 $\triangle ABC$ 内有一点 $P$,满足:$AP$ 的中点为 $Q$,$BQ$ 的中点为 $R$,$CR$ 的中点为 $P$.设 $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow a$,$\overrightarrow {AC}=\overrightarrow b$,如图.用 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 表示 $\overrightarrow {AP}=$ _______.

答案    $\dfrac 27\overrightarrow a+\dfrac 47\overrightarrow b$.

解析    设 $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$,记为 $P(x,y)$,则根据题意,有 $Q\left(\dfrac x2,\dfrac y2\right)$,$R\left(\dfrac x4+\dfrac 12,\dfrac y4\right)$,进而有\[\left(\dfrac x8+\dfrac 14,\dfrac y8+\dfrac 12\right)=(x,y)\iff (x,y)=\left(\dfrac 27,\dfrac 47\right).\]

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