每日一题[1705]建系设标

四边形 $ABCD$ 中,$AC\perp BD$ 且 $AC=2$,$BD=3$,则 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {CD}$ 的最小值为_______.

答案    $-\dfrac{13}4$.

解析    不妨设 $A(a,0)$,$B(0,b)$,$C(c,0)$,$D(0,d)$,且 $a>c$,$b>d$,则\[\begin{cases} AC=2,\\ BD=3,\end{cases}\iff \begin{cases} a-c=2,\\ b-d=3,\end{cases}\]此时有\[\begin{split}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}&=(-a,b)\cdot (-c,d)\\ &=ac+bd\\ &=c(c+2)+d(d+3)\\ &=(c+1)^2+\left(d+\dfrac 32\right)^2-\dfrac{13}4\\ &\geqslant -\dfrac{13}4,\end{split}\]等号当 $c=-1$,$d=-\dfrac 32$ 时取得,因此所求最小值为 $-\dfrac{13}4$.

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