每日一题[1708]端点分析

已知 $0<x<\dfrac{\pi}2$.

1、证明:$\tan x+\sin x>2x$.

2、若 $\tan x-x>n(x-\sin x)$,$n\in\mathbb N^{\ast}$ 恒成立,求 $n$ 的最大值.

解析

1、设函数 $f(x)=\tan x+\sin x-2x$,则其导函数\[f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}+\cos x-2>\dfrac{1}{\cos x}+\cos x-2>0,\]因此函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增,结合 $f(0)=0$,命题得证.

2、设函数 $g_n(x)=\tan x+n\sin x-(n+1)x$,则其导函数\[g'_n(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}+n\cos x-(n+1),\]当 $n=2$ 时,有\[g_2'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}+\cos x+\cos x-3>0,\]符合题意. 当 $n=3$ 时,有\[g_3'(x)=\dfrac{1+3\cos^3x -4\cos^2 x}{\cos^2x},\]令 $\cos x=1-t$,则分子为 $-t(3t^2-5t+1)$,于是当 $t\in \left(0,\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}\right)$ 时,$g_3'(x)<0$,因此当 $x\in\left(0,\arccos\dfrac{\sqrt{13}-1}6\right)$ 上,$g_3(x)$ 单调递减,又 $g_3(x)=0$,因此 $g_3(x)<0$,不符合题意. 综上所述,$n$ 的最大值为 $2$.

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