每日一题[1703]中值定理

已知 $0<a<b<\dfrac{\pi}2$,将 $b-a,\sin b-\sin a,\tan b-\tan a$ 从小到大排列的结果是_______.

答案    $\sin b-\sin a,b-a,\tan b-\tan a$.

解析    由于 $(\sin x)'=\cos x$,$(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$,于是根据拉格朗日中值定理,存在 $\xi_1,\xi_2\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$,使得\[\begin{cases} \dfrac{\sin b-\sin a}{b-a}=\cos\xi_1<1,\\ \dfrac{\tan b-\tan a}{b-a}=\dfrac1{\cos^2\xi_2}>1,\end{cases}\]因此\[\sin b-\sin a<b-a<\tan b-\tan a.\]

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