每日一题[1706]递推模型

抛一枚硬币,每次出现正面得 $1$ 分,出现反面得 $2$ 分,已知投掷这枚硬币得到正、反面的概率都是 $0.5$.

1、求投掷过程中,恰好得 $2$ 分的概率.

2、投掷硬币过程中,恰好得 $n$ 分的概率记为 $p_n$($n=1,2,\cdots$). ① 证明:$1-p_n=\dfrac 12p_{n-1}$($n\geqslant 2$); ② 求 $p_n$ 的通项公式.

解析

1、根据全概率公式,恰好得 $2$ 分的概率为 $\dfrac 12+\dfrac 12\cdot \dfrac 12=\dfrac 34$.

2、① 在投掷硬币的过程中不得到 $n$ 分只有一种可能:投掷出 $n-1$ 后投掷出 $2$ 分,因此\[1-p_n=\dfrac 12p_{n-1},n\geqslant 2,\]命题得证.

② 根据题意,有 $p_1=\dfrac 12$,且\[p_n-\dfrac 23=-\dfrac 12\left(p_{n-1}-\dfrac 23\right)\implies p_n=-\dfrac 16\left(-\dfrac 12\right)^{n-1}+\dfrac 23.\]

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