每日一题[1709]平行四边形区域面积公式

已知 $x,y\in\mathbb R$,则满足 $|x+2y|+|3x+4y|\leqslant 5$ 的点 $(x,y)$ 所构成的区域面积是_______.

答案    $25$.

解析    题中不等式即\[\begin{cases} |(x+2y)+(3x+4y)|\leqslant 5,\\ |(x+2y)-(3x+4y)|\leqslant 5,\end{cases}\iff \begin{cases} 4x+6y-5\leqslant 0,\\ 4x+6y+5\geqslant 0,\\ 2x+2y-5\leqslant 0,\\ 2x+2y+5\geqslant 0,\end{cases}\]设不等式组中各不等式对应的直线分别为 $l_1,l_2,l_3,l_4$,则题中区域即 $l_1,l_2,l_3,l_4$ 围成的平行四边形以及内部,其面积\[S=\dfrac{d(l_1,l_2)\cdot d(l_3,l_4)}{\sin\langle l_1,l_3\rangle}.\]根据夹角公式,有\[\tan\langle l_1,l_3\rangle =\dfrac{\left|-\dfrac 23-(-1)\right|}{1+\left(-\dfrac 23\right)\cdot (-1)}=\dfrac 15\implies \sin\langle l_1,l_3\rangle =\dfrac{1}{\sqrt{26}}.\]根据平行线间的距离公式,有\[\begin{cases} d(l_1,l_2)=\dfrac{10}{\sqrt{4^2+6^2}}=\dfrac{5}{\sqrt{13}},\\ d(l_3,l_4)=\dfrac{10}{\sqrt{2^2+2^2}}=\dfrac{5}{\sqrt 2},\end{cases}\]因此 $S=25$.

备注    已知平行四边形区域的四边分别为\[\begin{cases} l_1:A_1x+B_1y+C_1=0,\\ l_2:A_1x+B_2y+C_2=0,\\ l_3:A_2x+B_2y+C_3=0,\\ l_4:A_2x+B_3y+C_4=0,\end{cases}\]则该平行四边形区域的面积\[S=\dfrac{|C_1-C_2|\cdot |C_3-C_4|}{|A_1B_2-A_2B_1|}.\]

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