每日一题[1701]构造函数

已知实数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=x^2+y^2+z^2=2$,求 $xyz$ 的最值.

答案    最小值为 $0$,最大值为 $\dfrac{4}{27}$.

解析    题中条件即\[\begin{cases} x+y+z=2,\\ xy+yz+zx=1,\end{cases}\]记 $xyz=m$,设 $x,y,z$ 是三次函数 $f(t)=t^3-2t^2+t-m$ 的三个零点,考虑到函数 $f(t)$ 的导函数\[f'(t)=(3t-1)(t-1),\]于是函数 $f(t)$ 的极小值为 $f(1)=-m$,极大值为 $f\left(\dfrac 13\right)=\dfrac{4}{27}-m$,因此 $xyz$ 的最小值为 $0$,最大值为 $\dfrac{4}{27}$.

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